Resistencia a cortante del hormigón - Justificación del número gordo

En los Números Gordos, tanto en el libro (Editorial CINTER) como en el curso, proponemos un valor muy sencillo de la tensión de cortante del hormigón, fcv, que vamos a intentar demostrar.

Históricamente la fórmula de Vcu ha sufrido bastantes variaciones. Todas las normas están de acuerdo en que la resistencia a cortante del hormigón se obtiene de multiplicar una tensión fcv por el área útil (b·d).

$$V_{cu} = f_{cv} \ b \ d$$

(En adelante hablaremos de fcv)

Pero donde las normas no se ponen de acuerdo es en el valor de la tensión fcv. Por un lado, las normas alineadas con la sencillez del ACI proponen una expresión de fcv que solo depende de la resistencia del hormigón:

$$f_{cv} = 0,5 \sqrt{f_{cd}}$$

Expresión en kp/cm2 y que para un hormigón H-200 da una fcv de 5,7 kp/cm2. Esta expresión fue adoptada por la norma española hasta 1998 y de su aplicación proyecto tras proyecto retuve yo en mi memoria que el valor de resistencia fcv era aproximadamente 5 kp/cm2 0,5 MPa). Por otro lado, las normas alineadas con el EC-2 proponen la expresión:

$$f_{cv} = 0,12 (1+\sqrt{\frac {200}{d}}) \ (100 \rho \ f_{ck})^{\frac {1}{3}}$$

Esta expresión, dada en unidades del S.I., seguramente es muy ajustada a ensayos, pero tiene tres inconvenientes operativos:

• Es fácil confundirse si no se sabe antes cuanto debe salir
• Depende de la armadura de tracción Esa dependencia de la cuantía se observa en el siguiente gráfico: (d = 0,30 m y una fck = 25 MPa):

• Para cuantías muy pequeñas da una valor de resistencia muy pequeño, (llegando a cero para hormigón en masa), cosa que no es cierta. Esto se subsanó poniendo un valor mínimo a fcv . En el caso del EC-2:

$$f_{cv,min} = 0,035 (1+\sqrt{\frac {200}{d}}) ^{1,5} \sqrt{f_{cv}}$$

En definitiva, según esa compleja fórmula, los valores de fcv dependen de la cuantía, del canto, de la resistencia del hormigón… Nos preguntamos si se podría dar un orden de magnitud de fcv, a pesar de esa variabilidad. ¿Qué valores toma fcv para muchos otros casos? Pues hemos aplicado la fórmula del EC-2 a un número importante de casos, diferentes cuantías, diferentes cantos y diferentes resistencias y se obtienen los valores siguientes:

Observando los valores anteriores, resulta que mi viejo orden de magnitud obtenido al aplicar tantas veces la fórmula del ACI (EH-91) parece dar un valor muy apropiado. Veámoslo gráficamente:

Observad que casi todos los valores están por encima de 0,5 MPa. Solo están por debajo aquellos casos de cuantías de tracción muy pequeñas, por debajo del 3 por mil, inusuales en apoyos intermedios, y también los casos de cantos bastante grandes.

Conclusión: La tensión de cortante del hormigón tiene un valor aproximado de

$$f_{cv} = 0,5 \ MPa$$

• Tremendamente sencillo
• Suficientemente seguro para la casi totalidad de los casos habituales.
• Muy útil para hacer un número gordo rapido.
• Orden de magnitud para contrastar resultados al aplicar fórmulas más complejas.

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